Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=1，BD平分∠ABC，BD⊥CD．
（1）求：①∠BAD的度数；②BD的长；
（2）延长BC至点E，使CE=CD，说明△DBE是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，AB=DC，得∠ABC=∠DCB，再由BD平分∠ABC，则∴∠1=∠2=∠3，根据BD⊥CD，得∠ABC=∠DCB=60°，则∠A=120°，过D作DF∥AB，则四边形ABFD是平行四边形，可证明△DFC是等边三角形，根据勾股定理，得出BD；
（2）由CE=CD，得∠4=∠E=

1

2

∠DCB，则∠1=∠E，从而得出DB=DE．即△DBE是等腰三角形

解答：（1）①∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，∠1=∠3，∠A+∠ABC=180°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=

1

2

∠DCB．
∵BD⊥CD，
∴∠1+∠DCB=∠1+2∠1=90°，
∴∠1=30°，
∴∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠A=120°；
②∵∠2=∠3，
∴AB=AD=DC=1
过D作DF∥AB，则四边形ABFD是平行四边形，
∴AD=BF=1，DF=DC=AB．
∵∠DCB=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴BC=2DC=2．
在Rt△DBC中，根据勾股定理，得
BD=

BC2-DC2

=

22-12

=

3

．…（8分）
（2）∵CE=CD，∴∠4=∠E=

1

2

∠DCB=30°，
∵∠1=30°
∴∠1=∠E，
∴DB=DE．
即△DBE是等腰三角形．…（12分）

点评：本题考查了等腰梯形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．