Question

16．如图，O为Rt△ACD的斜边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与DC相切于点E，分别交AC、AD于点B和点F．若⊙O的半径为3cm，DF=1cm，则DE的长是$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 过O作OG⊥AD于G，连接OE，由CD是⊙O的切线，得到OE⊥CD，推出四边形OEDG是矩形，根据矩形的性质得到DG=OE=3cm，DE=OG，由垂径定理得到AG=FG，根据勾股定理得到OG=$\sqrt{A{O}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，于是得到结论．

解答 解：过O作OG⊥AD于G，连接OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴四边形OEDG是矩形，
∴DG=OE=3cm，DE=OG，
∵OG⊥AD，
∴AG=FG，
∵DF=1cm，
∴AG=FG=2cm，
∴OG=$\sqrt{A{O}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DE=OG=$\sqrt{5}$cm．
故答案为：$\sqrt{5}$cm．

点评 本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．