Question

如图，直线y=-3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线C₁交x轴于另一点M（-3，0）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）直接写出抛物线C₁关于y轴的对称图形C₂的解析式；
（3）如果点A′是点A关于原点的对称点，点D是图形C₂的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△A′BO是相似三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0）
∵直线y=-3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，
∴A点坐标为（1，0）、B点坐标为（0，3）．
又∵抛物线经过A、B、M三点，
∴，
解得：．
∴抛物线C₁的解析式为：y=-x²-2x+3．

（2）抛物线C₁关于y轴的对称图形C₂的解析式为：y=-x²-2x+3=-（-x）²-2×（-x）+3=-x²+2x+3，即y=-x²+2x+3．

（3）A′点的坐标为（-1，0），∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴该抛物线的顶点为D（1，4）．
若△PAD与△A'BO相似，
①当=时，，P点坐标为或；
②当=时，AP=12，P点坐标为（-11，0）或（13，0）；
∴当△PAD与△A'BO是相似三角形时，P点坐标为或或（-11，0）或（13，0）．
分析：（1）利用一次函数解析式求得点A、B的坐标，然后将点A、B、M的坐标分别代入抛物线解析式y=ax²+bx+c（a≠0），列出关于a、b、c的三元一次方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（2）关于y轴对称的点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）需要分类讨论：△PAD与△A'BO相似时，相似比是3和两种情况下的点P的坐标．
点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质．此题综合性比较强，属于难题．另外，解答（3）时，一定要分类讨论，以防漏解．