Question

16．如图，把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，点E、F分别是射线CB、DC上的动点（E、F与B、C、D不重合），且始终保持BE=CF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；
（2）①当点E运动到什么位置时，EF⊥DC？
②若AB=4，当∠EAB=15°时，求△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）①由等边三角形的性质即可得出∠ABE=∠ACF，即可得出结论；
②由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质求出∠FEC=30°和∠AEB=30°，即可得出结论；
②先求出∠AEB=45°，再用勾股定理求出CF=EB=2$\sqrt{3}$-2，再判断出△ABG∽△FCH，即可求出EC=2$\sqrt{3}$+2
最后用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 （1）
①证明：∵△ABC和△ACD均为等边三角形
∴AB=AC，∠ABC=∠ACD=60°，
∴∠ABE=∠ACF=120°         
∵BE=CF
∴△ABE≌△ACF             
②证明：∵△ABE≌△ACF
∴AE=AF
∠EAB=∠FAC，
∴∠EAF=∠BAC=60°       
∴△AEF是等边三角形      
（2）①若EF⊥DC，
∵∠ECF=60°，
∴∠FEC=30°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=30°，
∴∠AEB=∠BAE=30°，
∴BE=BA                        
∴当E运动到BE=BC时，EF⊥DC．
②如图，过点A作AG⊥BC于点G，
过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在Rt△AGB中，
∵∠ABC=60°，AB=4
∴BG=2，AG=2$\sqrt{3}$
∴AG=GE=2$\sqrt{3}$
∴CF=EB=2$\sqrt{3}$-2              
∵△ABG∽△FCH，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{FH}{FC}$，
∴FH=$3-\sqrt{3}$
∵EC=BE+BC=2$\sqrt{3}$+2
∴△CEF的面积为：$\frac{1}{2}×（{2\sqrt{3}+2}）（{3-\sqrt{3}}）$=$2\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出△ABE≌△ACF，解（2）的关键是构造直角三角形求出CF=EB=2$\sqrt{3}$-2．