Question

如图，已知四边形ABCD是四个角都是直角，四条边都相等的正方形，点E在BC上，且CE=

1

4

BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S_△AEF=

1

4

S四边形ABCF；④∠AFE=90°，其中正确的结论的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：由“点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M”知AD=CM，即AB=CM，由边长关系可知AE=EM，F为中点知，EF⊥AM，再根据面积S_{四边形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF得面积关系．

解答：解：由题意知，∵点F是CD的中点，∴DF=CF，
又∵∠D=∠FCM，∠DFA=∠CFM，
∴△ADF≌△MCF，
∴CM=AD=AB，
①正确；
设正方形ABCD边长为4，
∵CE=

1

4

BC=1，
∴BE=3，
∴AE=5，
∴AE=AB+CE，
②正确；
EM=CM+CE=5=AE，
又∵F为AM的中点，
∴EF⊥AM，
④正确，
由CF=2，CE=1得EF=

5

，
由DF=2，AD=4得AF=2

5

，
∴S_△AEF=5，
又S_△ADF=4，
∴S_{四边形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF=12，
③不正确，
故正确的有3个，选C．

点评：本题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．注意对角线相互垂直平分相等的综合性质的应用，是基础题，要熟练掌握．