Question

如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若

CD

AD

=

3

4

，求cos∠DAB．

Answer 1

考点：切线的判定,角平分线的性质,勾股定理,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵

CD

AD

=

3

4

，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴

BC

AC

=

3

4

，

BC

5

=

3

4

，
∴BC=

15

4

，
由勾股定理得AB=

25

4

，
∴OC=

25

8

，
∵OC∥AD，
∴

OC

AD

=

OE

AE

，
∴

25 8

4

=

AE- 25 8

AE

，
解得AE=

100

7

，
∴cos∠DAB=

AD

AE

=

4

100 7

=

7

25

．

点评：本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．