Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，-1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x²-（m+n）x+mn=（x-m）（x-n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．
（2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得-1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可．
（3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可．

解答：解：（1）∵y=x²-（m+n）x+mn=（x-m）（x-n），
∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，
∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，
∴A（2，0），B（1，0）．

（2）∵抛物线y=x²-（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，-1），
∴-1=mn，
∴n=-

1

m

，
∵B（n，0），
∴B（-

1

m

，0）．
∵AO=m，BO=

1

m

，CO=1
∴AC=

AO2+OC2

=

m2+1

，
  BC=

OB2+OC2

=

m2+1

m

，
  AB=AO+BO=m+

1

m

，
∵（m+

1

m

）²=（

m2+1

）²+（

m2+1

m

）²，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°．

（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，
∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC=

AO2+OC2

=2

1+n2

，
  BC=

OB2+OC2

=

5

|n|，
  AB=x_A-x_B=2-n．
①当AC=BC时，2

1+n2

=

5

|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=-2；
②当AC=AB时，2

1+n2

=2-n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=-

4

3

；
③当BC=AB时，

5

|n|=2-n，
当n＞0时，

5

n=2-n，解得n=

5 -1

2

，
当n＜0时，-

5

n=2-n，解得n=-

5 +1

2

．
综上所述，n=-2，-

4

3

，-

5 +1

2

，

5 -1

2

时，△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识，总体难度适中，是一道非常值得学生加强练习的题目．