Question

在直角坐标系中，把点A（-1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到A′，经过点A、A′的抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点的纵坐标为2．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为（1，m），且m＜3，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A，A′和（0，2）代入解析式用待定系数法求解；
（2）根据题意可设点B的坐标为（1，m），利用等腰三角形的两边相等作为等量关系列式子关于m的方程，要注意本题有三种情况，要分别列举，当AP=PB时；当AP=AB时；当PB=AB时，分别计算不要漏解．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
点A（-1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点A'（3，a），（1分）
∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为2，
∴c=2，（1分）
∵图象经过点A（-1，a），A'（3，a），
∴

a-b+c=a 9a+3b+c=a

，（1分）
解得

a=-1 b=2

，（2分）
∴这条抛物线的解析式为y=-x²+2x+2；（1分）

（2）由y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3
得P（1，3），AP=2

5

，（1分）
∵△ABP是等腰三角形，点B的坐标为（1，m），且m＜3，
（Ⅰ）当AP=PB时，PB=2

5

，
即3-m=2

5

，（1分）
∴m=3-2

5

；（1分）
（Ⅱ）当AP=AB时，（-1-1）²+（-1-3）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得m=3，m=-5，（1分）m=3不合题意舍去，
∴m=-5；（1分）
（Ⅲ）当PB=AB时，（1-1）²+（3-m）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得m=

1

2

．（1分）
∴当m=3-2

5

或-5或

1

2

时，△ABP是等腰三角形．B的坐标是（1，3-2

5

）或（1，-5）或（1，

1

2

）．

点评：本题考查图形的平移变换和待定系数法求二次函数的解析式和利用等腰三角形的性质求点的坐标，此题是典型的数形结合综合性习题．