Question

15．已知关于x的一元二次方程ax²+bx-c=0中的a、b、c分别△ABC的三条边．
（1）不解方程，判断方程ax²+bx-c=0的根的情况．
（2）若x=$\frac{1}{4}$c是该方程的一个根，其中a、b、c均为整数，且ac-4b＜0，求该方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式判断即可；
（2）将x=$\frac{1}{4}$c代入方程可得ac=16-4b，根据ac-4b＜0可得b＞2，再由ac＞0可得16-4b＞0，即b＜4，由b为整数可得b=3，再结合ac=4，a、c均为整数，且a、b、c分别△ABC的三条边可得a=c=4，从而还原原方程，解之即可．

解答 解：（1）∵△=b²+4ac，且a、b、c分别△ABC的三条边．
∴b²＞0，4ac＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．

（2）∵x=$\frac{1}{4}$c是该方程的一个根，
∴$\frac{1}{16}$ac²+$\frac{1}{4}$bc-c=0，
∵c＞0，
∴ac=16-4b
∵ac-4b＜0，
∴16-4b-4b＜0，
∴b＞2．
又∵ac＞0，
∴16-4b＞0，
∴b＜4，
∴2＜b＜4，
∵b为整数，
∴b=3，
∴ac=4，
∵a、c均为整数，且a、b、c分别△ABC的三条边．
∴a=c=2．
∴原方程为2x²+3x-2=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-2，
∴这个方程的另一个根为x=-2．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．