Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB=________°，理由是：________；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）

（2）△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．

（3）解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴===
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC²+BC²=AB²
即：（3x+6）²+（4x）²=8²，
解得：x=-2（舍去）或x=
∴BD=5x=
分析：（1）根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论；
（2）根据∠ABC的平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE是⊙O的切线得到∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等腰三角形．
（3）证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC²+BC²=AB²得到（3x+6）²+（4x）²=8²解得x后即可求得BD的长．
点评：本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上．