Question

6．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求$\frac{AF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理、勾股定理得出BE=2$\sqrt{2}$AE，CE=4AE，然后根据勾股定理求得BE=2$\sqrt{2}$AE，然后证得△DFC∽△BEC，根据相似三角形的性质得出DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC，然后根据射影定理得出（$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC）²=AF•FC，即可求得$\frac{AF}{FC}$的值．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$AE，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠DFC=∠AEB=90°，
∴DF∥BE，
∴△DFC∽△BEC，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∴DF²=AF•FC，
∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC）²=AF•FC，
∴$\frac{1}{2}$FC=AF，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质等，是一道综合题，难度中等．