Question

如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（　　）

• A．5
• B．

  4 5

  5

• C．

  6 5

  5

• D．

  12 5

  5

Answer 1

分析：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直径，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
进而证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质即可求出BA和AC的比值，进一步利用勾股定理即可求出AC的长．

解答：解：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；BC是直径，
所以∠BAC=90°，
因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因为∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因为∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故

PB

PA

=

BA

AC

，
所以

BA

AC

=

2

4

=

1

2

，在RT△BAC中，AB²+（2AB）²=6²；
解得：AB=

6 5

5

，
所以AC=

12 5

5

故选D．

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目的综合性很强，难度中等．