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    如下圆，AB是⊙O的直径，直线PQ过⊙O上的点C，PQ是⊙O的切线。

    （1）求证：∠BCP＝∠A；

    （2）如果AB是⊙O的弦（不是直径），这个结论还成立吗？试说明。

    （1）证明：连接OC              

    PQ是⊙O的切线

    ∴OC⊥PQ

    ∴∠OCB＋∠BCP＝90°        

    ∵OB＝OC

    ∴∠OBC＝∠OCB                  

    ∵AB是⊙O的直径

    ∴∠ACB＝90°

    ∴∠OBC＋∠A＝90°

    ∴∠BCD＝∠A            

    （2）答：如果AB是⊙O的弦（不是直径），这个结论还成立   

    理由为：过C点作直径CD，连接BD，则∠A＝∠D，∠DBC＝90°

    ∴∠D＋∠DCB＝90°        

    ∵PQ是⊙O的切线

    ∴OC⊥PQ

    ∴∠DCB＋∠BCP＝90°          

    ∴∠BCP＝∠D

    ∴∠BCP＝∠A              

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    一座拱型桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米．若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少？
    （1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图1）可设抛物线的表达式为y=ax2+c．请你填空：
    a=
     
    ，c=
     
    ，EF=
     
    米．
    （2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形（如图2）计算如下：
    设圆的半径是r米，在Rt△OCB中，易知r2=（r-4）2+102，r=14.5
    同理，当水面上升3米至EF，在Rt△OGF中可计算出GF=
     
    ，即水面宽度EF=
     
    米．
    （3）请估计（2）中EF与（1）中你计算出的EF的差的近似值（误差小于0.1米）．精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
    如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
    作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AP的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
    （1）观察发现
    再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
    作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为
     
    ．
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    （2）实践运用
    如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
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    （3）拓展迁移
    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    ①求这条抛物线所对应的函数关系式；
    ②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
    如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
    做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
    （1）观察发现
    再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
    作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为
    2
    		3
    2
    		3
    ．
    （2）实践运用
    如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
    （3）拓展迁移
    如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    ①求这条抛物线所对应的函数关系式；
    ②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角i两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．（弦心距指从圆心到弦的距离（如图（1）中的OC、OC′），弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．）
    请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题．
    如图（2），O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交子点A、B、C、D．
    （1）求证：AB=CD；
    （2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．

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