Question

9．如图，直线y=x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）交于点A、B，过点B向y轴作垂线，垂足为C，若BC=$\frac{1}{2}$AB，△AOB的面积为3，则k值为-3$\sqrt{2}$+$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 设直线AB与x轴交于M，与y轴交于N，过O作OD⊥AB于D，得到M（-4，0），N（0，4），求得OM=ON=4，推出△MON是等腰直角三角形，根据三角形的面积得到AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，得到BC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，得到B（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$），于是得到结论．

解答 解：设直线AB与x轴交于M，与y轴交于N，
过O作OD⊥AB于D，
在y=x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-4，
∴M（-4，0），N（0，4），
∴OM=ON=4，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴OD=$\frac{1}{2}$MN=2$\sqrt{2}$，
∵△AOB的面积为3，
∴AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵BC⊥y轴，
∴CN=BC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴OC=ON-CN=$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$，
∴B（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$），
∴k=（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）×$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$=-3$\sqrt{2}$+$\frac{9}{8}$．
故答案为：-3$\sqrt{2}$+$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．