Question

已知 x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-

3

2

成立？若存在求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知可知，方程有两个实数根，那么△≥0，解不等式即可；
（2）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x₁+x₂=1，x₁x₂=

k+1

4k

，然后把x₁+x₂、x₁x₂代入（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-

3

2

中，进而可求k的值．

解答：解：（1）∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴△=b²-4ac=16k²-4×4k（k+1）=-16k≥0，且4k≠0，
解得k＜0；
（2）∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=

k+1

4k

，
∴（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=2x₁²-4x₁x₂-x₁x₂+2x₂²=2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=2×1²-9×

k+1

4k

=2-

9(k+1)

4k

，
若2-

9(k+1)

4k

=-

3

2

成立，
解上述方程得，k=

9

5

，
∵（1）中k＜0，（2）中k=

9

5

，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值．

点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．