Question

（1）如图（1），∠AOB内有两点M、N，要求作出一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等和到两点M和N的距离也相等．
（2）如图（2），在公路MN在一旁有两个村庄A、B，现在这两个村庄要在公路MN上修建一个电视转播站P，且使P到这两个村庄的路线最短，请你把P的位置作出来．

Answer 1

解：（1）MN的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．


（2）：画出点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP，
∵A、A′关于直线MN对称，
∴AP=A′P，
∴AP+BP=A′B，
由两点之间线段最短可知，线段A′B的长即为AP+BP的最小值，故P点即为所求点．

分析：（1）∵点P到∠AOB两边距离相等，到点M、N的距离也相等，∴点P既在∠AOB的角平分线上，又在MN垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和MN垂直平分线的交点处即为点P．
（2）画出点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP，由对称的性质可知AP=A′P，由两点之间线段最短可知点P即为所求点．
点评：（1）题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．
（2）题考查的是最短线路问题，熟知对称的性质及两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．