Question

7．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB=$\frac{3}{2}$CD，求⊙O半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．
（2）首先设CD为x，则AB=$\frac{3}{2}$x，OC=OB=$\frac{3}{4}$x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得：$\frac{AC}{CB}$=$\frac{CD}{BD}$，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．

解答 （1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCD，
在△ADC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCD}\\{∠ADC=∠CDB}\end{array}\right.$
∴△ADC∽△CDB．

（2）解：设CD为x，
则AB=$\frac{3}{2}$x，OC=OB=$\frac{3}{4}$x，
∵∠OCD=90°，
∴OD=$\sqrt{{OC}^{2}{+CD}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{3}{4}x）}^{2}{+x}^{2}}$=$\frac{5}{4}$x，
∴BD=OD-OB=$\frac{5}{4}$x-$\frac{3}{4}$x=$\frac{1}{2}$x，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AC}{CB}$=$\frac{CD}{BD}$，
即$\frac{2}{CB}=\frac{x}{\frac{1}{2}x}$，
解得CB=1，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴⊙O半径是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．