Question

如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：△BAD∽△CED；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AE=1，AB=4，求AD的长．并计算出∠B的大小．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵BD=CD，
∴∠B=∠C．
∵∠CED=∠ADB=90°，
∴△BDA∽△CED．

（2）连接OD，
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（3）证明：∵∠AED=∠ADB=90°，BD=CD，AD⊥BC，
∴∠DAE=∠DAB．
∴△EAD∽△DAB．
∴．
∴DA²=AB•EA．
∴DA²=1×4．
∴AD=2．
在Rt△ADB中，∵AD=2，AB=4，
∴∠B=30°．
分析：（1）根据已知及相似三角形的判定方法分析即可；
（2）连接OD，证OD⊥DE即可．
（3）可通过相似三角形ADE和ABD得出关于AE，AD，AB的比例关系求出AD的长，再在直角三角形ABD中用正弦函数求出∠B的度数．
点评：本题主要考查了切线的判定，弦切角定理，相似三角形的判定和性质等知识点，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．（3）中通过相似三角形得出线段间的比例关系进而求出线段的长是解题的关键．