Question

3．在△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，BC边上的高AD=$\sqrt{3}$，如果有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别为AC，BC上，则这个正方形的边长是3-$\sqrt{3}$或$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 根据条件显然有两种情况，由相似三角形的性质和勾股定理即可得出结果．

解答 解：根据条件显然有两种情况，如图，
（1）在图（1）中，BC=4时，可求CD=1，∠CAD=30°，
∴∠B=30°，∠C=60°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC=4．
设正方形边长为x，如图（3）所示：
∵$\frac{EG}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$，
解得x=3-$\sqrt{3}$；
（2）在图（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°
∴∠BAD=60°，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD，
BC=AC=2．
在图（4）中，当BC=2时，
∵AC=2，
∴△ABC是等腰三角形，
此时内接正方形h是△ABC的AB边上的高，
h=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
设正方形边长为x，由△HGC∽△ABC得，$\frac{HG}{AB}=\frac{hx}{h}$，即
$\frac{x}{2\sqrt{3}}=\frac{1-x}{x}$，
解得x=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$；
故答案为：3-$\sqrt{3}$或$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握的作出图形是解题的关键．