Question

如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax²+bx-2，
得，
解得：．
∴该抛物线的解析式为y=-x²+x-2．

（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t²+t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则，
解得：，
由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．
∴E点的坐标为（t，t-2）．
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t．
∴S_△DCA=S_△CDE+S_△ADE=×DE×OA=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，S_最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

（3）存在．
如图2，设P（m，-m²+m-2），则m＞1．
Ⅰ．当1＜m＜4时，
则AM=4-m，PM=-m²+m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当时，△APM∽△ACO．
∴4-m=2（-m²+m-2），解得m₁=2，m₂=4（舍去）．
∴P₁（2，1）．
②当时，△APM∽△CAO．
∴2（4-m）=-m²+m-2，解得m₃=4，m₄=5（均不合题意，舍去）．
∴当1＜m＜4时，P₁（2，1）．
Ⅱ．当m＞4时，同理可求P₂（5，-2）．
综上所述，符合条件的点P为P₁（2，1）和P₂（5，-2）．
分析：（1）由抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t²+t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S_△DCA=-（t-2）²+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值；
（3）首先设P（m，-m²+m-2），则m＞1；然后分别从①当时，△APM∽△ACO与②当时，△APM∽△CAO去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．