Question

19．已知二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx的图象过点A（4，0），设点C（1，-3），在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA-PC|的值最大，则点P的坐标为（2，-6）．

Answer 1

分析 先把A（4，0）代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx，求出b的值，得到二次函数解析式，再根据抛物线的对称性求出二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x与x轴的另一交点是O（0，0），由A、O关于对称轴对称，则可知PA=PO，则当P、O、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线OC解析式，则可求得P点坐标．

解答 解：∵二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx的图象过点A（4，0），
∴0=$\frac{1}{2}$×4²+4b，解得b=-2，
∴y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x，
∴对称轴为x=$\frac{2}{2×\frac{1}{2}}$=2，
∵二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x与x轴交于点A（4，0），
∴它与x轴的另一交点是O（0，0），
∵P在对称轴上，
∴PA=PO，
∴|PA-PC|=|PO-PC|≤OC，即当P、O、C三点在一条线上时|PA-PC|的值最大，
设直线OC解析式为y=kx，
∴k=-3，
∴直线OC解析式为y=-3x，
令x=2，可得y=-3×2=-6，
∴存在满足条件的点P，其坐标为（2，-6）．
故答案为（2，-6）．

点评 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质等知识．求出二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x与x轴的另一交点是O（0，0），得出P、O、C三点共线时|PA-PC|的值最大是解题的关键．