Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=10cm，动弦CD=6cm，动弦CD始终与AB相交，问当CD弦在⊙O上滑动时，A、B到直线CD距离之差的绝对值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，予以证明并求其值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,垂径定理

专题：

分析：设AB与CD交于H，作OM⊥CD于M，AF⊥CD于F，易得OM，MC，MD的长度，再由△AFH∽△OMH∽△BEH，得出比例式，化简两式相减求解即可．

解答：解：如图，设AB与CD交于H，作OM⊥CD于M，AF⊥CD于F，

∵CD=6cm，
∴MC=MD=3，
∵AB=10cm，
∴OM=4，
∵△AFH∽△OMH∽△BEH，
∴

AF

OM

=

AH

HO

=

5-OH

OH

，
∴

AF

4

=

5-OH

OH

，①
∴

EB

OM

=

HB

OH

=

5+OH

OH

，即

BE

4

=

5+OH

OH

，②
①-②得到

AF-BE

4

=-2，
∴|AF-BE|=2，
∴当CD弦在⊙O上滑动时，A、B到直线CD距离之差的绝对值不发生变化．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及垂径定理，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形相似列出比例式求解．