Question

已知a，b为正整数，且满足

a+b

a2+ab+b2

=

4

49

，求a+b的值．

Answer 1

分析：利用已知将方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出k的取值范围，再代入方程得出a+b的值．

解答：解：由49（a+b）=4（a²+ab+b²）及a，b都是正整数，
故存在正整数k，使a+b=4k①
从而a²+ab+b²=49k，
即（a+b）²-ab=49k，故ab=16k²-49k②
从而a，b是关于x的方程
x²-4kx+（16k²-49k）=0③（此也可视作把①代入②，整理成关于a的类似③的方程）
得两个正整数根．
由△=16k²-4（16k²-49k）≥0，
得0≤k≤

49

12

，
∵k为正整数∴k=1，2，3，4．容易验证，
当k=1，2，3时，方程③均无正整数根；
当k=4时，方程③为x²-16x+60=0，
解得x₁=10，x₂=6．
故a+b=4k=16．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及方程整数解的求法，综合性较强．