Question

已知x、y为正整数，且满足xy-（ x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对（x，y ）  （x≥y ）．

Answer 1

分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）．解方程k（y-2）=3；②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp．解方程abp-1=（a-1）（b-1）即可．

解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）．
则由原方程，得
ky•y-（ky+y）=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-（k+1）=2+k，
∴k（y-2）=3，
当k=1时，x=5，y=5；
当k=3时，x=9，y=3；
∴

x=9 y=3

，

x=5 y=5

；

②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式
得：abp²-（ap+bp）=2p+abp，即abp-1=（a+1）（b+1）
当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件；
当p＞1时，abp≥2ab-1=ab+（ab-1）≥ab＞（a-1）（b-1）
此时，abp-1=（a-1）（b+1）不满足条件；
综上所述，满足条件的数对有：

x=9 y=3

，

x=5 y=5

．

点评：本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．