Question

如图，已知A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，8），⊙A与y轴相切，AB交⊙O于点P，过点P作⊙A的切线交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）证明：AD=AB；
（2）求经过A，D，C三点的抛物线的函数关系式；
（3）若点M在第一象限，且在（2）中的抛物线上，求四边形AMCD面积的最大值及此时点M的坐标．

Answer 1

（1）∵DP切⊙A于P，
∴∠APD=90°
在△ADP和△ABO中，

∠A=∠A AP=AO ∠APD=∠AOB

，
∴△ADP≌△ABO（ASA），
∴AD=AB．

（2）在Rt△AOB中，由AO=6，BO=8，得AB=10．
∵AD=AB，故AD=10，
∴OD=AD-AO=4，
因此D点坐标为（-4，0）
又∵∠CDO=∠ADP，∠COD=∠APD=90°
∴△DCO∽△DAP
∴

CO

DO

=

AP

DP

，
即

CO

4

=

6

8

，CO=3．
∴C点坐标为（0，3）
经过A（6，0），D（-4，0），C（0，3）的抛物线解析式可设为y=a（x-6）（x+4），
将C（0，3）代入得，a=-

1

8

．
所以，所求抛物线的函数关系式为y=-

1

8

（x-6）（x+4）=-

1

8

x²+

1

4

x+3．

（3）设M点坐标为（p，q），-p＞0，q＞0，q=-

1

8

p²+

1

4

p+3，
过M作MN⊥x轴于N，则S_{四边形AMCD}=S_△COD+S_{四边形MNOC}+S_△MNA
=

1

2

×4×3+

3+q

2

×p+

1

2

（6-p）×q
=6+

3

2

p+3q=-

3

8

p²+

9

4

p+15=-

3

8

（p-3）²+

147

8

．
∴当p=3时，四边形AMCD面积最大，最大值为

147

8

．
此时M点坐标为（3，

21

8

）．