Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．
（1）求证：AD=BE；
（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质和三角形的内角和定理推出∠BEC=∠ADE，根据AAS证出△EAD≌△EBC即可；
（2）延长AF交BC的延长线于M，证△ADF≌△MFC，推出AF=FM，根据等腰三角形性质推出AF⊥BF，根据直角三角形斜边上中线性质推出AF=BF即可．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∵DE⊥EC，
∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEC=∠ADE，
∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，
∴△EAD≌△EBC，
∴AD=BE．

（2）答：△ABF是等腰直角三角形．
理由是：延长AF交BC的延长线于M，
∵AD∥BM，
∴∠DAF=∠M，
∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，
∴△ADF≌△MFC，
∴AD=CM，
∵AD=BE，
∴BE=CM，
∵AE=BC，
∴AB=BM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∵△ADF≌△MCF，
∴AF=FM，
∴∠ABC=90°，
∴BF⊥AM，BF=

1

2

AM=AF，
∴△AFB是等腰直角三角形．

点评：本题主要考查对直角梯形，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．