Question

17．如图，直线m过正方形ABCD的顶点A，过点D、B分别作m的垂线，垂足分别为点E、F．
（1）求证：△ADE≌△BAF；
（2）EF与DE、BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）若A为EF的中点，四边形EFBD是什么特殊四边形？请证明．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质就可以得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据余角的性质就可以得出∠EDA=∠BAF，从而根据AAS可以证明△ADE≌△BAF；
（2）①由△ADE≌△BAF得出AE=BF，ED=FA就可以得出结论；②同①的方法得到结论EF=AE-CF；
（3）由（2）①AE=BF，ED=FA，从而得出DE=BF，再判断出DE∥BF，得出四边形EFBD是平行四边形，最后由∠DEA=90°，得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵DE⊥直线m、BF⊥直线m，
∴∠DEA=∠AFB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵∠DAE+∠BAF=180°-∠ABAD=180°-90°=90°，
∴∠EDA=∠BAF（同角的余角相等）．
在△DEA与△AFB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AFB}\\{∠EDA=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△DEA与△AFB（AAS），
（2）①B、D两顶点在直线m同侧
由（1）有，△DEA与△AFB
∴DE=AF，AE=BF （全等三角形的对应边相等）．
∵EF=AE+AF，
∴EF=DE+BF（等量代换）
②当B、D两顶点在直线m的两侧时（如图2），

结论：EF=AE-CF 
理由：同（1）的方法得到，△DEA与△AFB（AAS），
∴DE=AF，AE=BF （全等三角形的对应边相等）．
∵EF=AF-AE，
∴EF=DE-BF（等量代换）
（3）结论：四边形EFBD是矩形，
∵A为EF的中点，
∴B、D两顶点在直线m同侧
如图3，

由（2）①得到，DE=AF，AE=BF，
∵点A为EF的中点，
∴AE=AF，
∴DE=BF，
∵DE⊥直线m、BF⊥直线m，
∴DE=BF，
∴四边形EFBD是平行四边形，
由（1）∠DEA=90°，
∴平行四边形EFBD是矩形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，余角的性质的运用，垂直的性质的运用，矩形的判定，解答本题是证明三角形全等利用性质解题是关键．