Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为s，则下列结论：

①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②当x=1时，四边形ABC₁D₁是菱形；
③当x=2时，△BDD₁为等边三角形；
④（0＜x＜2）；
其中正确的是　   　（填序号）．

Answer 1

①②③④

解析试题分析：①∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD。∴∠DAC=∠ACB。
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁。
在△A₁AD₁与△CC₁B中，∵AA₁=CC₁，∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS）。①正确；。

②∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°。
∵AB=1，∴AC=2。
∵x=1，∴AC₁=1。∴△AC₁B是等边三角形。∴AB=BC₁。
又AB∥BC₁，∴四边形ABC₁D₁是菱形。故②正确。
③如图所示，可得BD=DD₁=BD₁=2，

∴△BDD₁为等边三角形，故③正确。
④易得△AC₁F∽△ACD，
∴，
解得：（0＜x＜2）；故④正确。
综上可得正确的是①②③④。