Question

如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝2x＋1经过抛物线上一点B(m，－3)，且与y轴、直线x＝2分别交于点D，E．

(1)求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成y＝a(x－h)²＋k的形式；

(2)求证：CD⊥BE；

(3)在对称轴x＝2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形，如果存在，请求出点P的坐标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵已知抛物线的对称轴为， 　　∴设抛物线的解析式为， 　　又∵直线经过点B()， 　　∴，解得，， 　　∴点B()， 　　又∵二次函数的图象经过0(0，0) 　　B()， 　　 　　解得， 　　∴抛物线的解析式为． 　　(2)由题意解方程组，得 　　∴点E的坐标为(2，5)，∴CE＝5． 　　过点B作BF垂直于轴于F， 　　作BH垂直于直线于H，交轴于点Q， 　　∵点B()，D(0，1)， 　　∴BF＝3，BH＝4，CH＝BF＝3，OD＝1，EH＝8，DQ＝4． 　　在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中 　　有勾股定理得BE＝，BD＝，BC＝ 　　∴BD＝BE 　　又∵EC＝5，∴BC＝CE，∴CD⊥BE． 　　(3)结论：存在点P，使△PBE是直角三角形． 　　①当∠BPE＝90°时，点P与(2)中的点H重合， 　　∴此时点P的坐标为； 　　延长BH与过点A(4，0)且与轴垂直的直线交于M， 　　则 　　②当∠EBP＝90°时，设点P(2，)， 　　∵E(2，5)，H(2，)，B()， 　　∴BH＝4，EH＝8，PH＝． 　　在Rt△PBE中，BH⊥PE， 　　可证得△BHP∽△EHB， 　　，即， 　　解得， 　　此时点P的坐标为． 　　过点P与轴平行的直线与FB的延长线交于点N， 　　则 　　综合①，②知点P的坐标为，△PAB的面积为6；或点P的坐标为，△PAB的面积为12．