Question

6．如图1，在梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=8，点F是线段DC的中点，点G是线段DF上的一个动点（不与点F重合），连接BG并延长线段AD延长线于点P．
（1）若AB+DP=BP，求PD的长．
（2）如图2，点E是BP的中点．
①若设DP=x，EF=y，求y与x的函数关系式并写出定义域．
②连接DE和PF，若DE=PF，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（2）①如图2中，连接DE并延长交BC于点H．只要证明线段EF 是△DHC的中位线即可解决问题；
②分两种情形（Ⅰ）当四边形DEPF是平行四边形时．（Ⅱ）当四边形DEPF是等腰梯形时，方程构建方程即可解决问题；

解答 解：（1）∵AB+DP=BP，AB=3，
∴BP=3+DP，
∵∠A=90°，AB=3，AD=2，
∴BP²=AB²+AP²，
∴（3+DP）²=9+（2+DP）²，
∴DP=2，
∴PD的长为2．

（2）如图2中，连接DE并延长交BC于点H．

①∵E是BP的中点，
∴BE=PE，
∵AP∥BC，
∴∠DPE=∠PBH，
∵∠DEP≌△HEB，
∴DE=EH，BH=DP=x，
∴CH=8-x，
∵F是线段DC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（8-x），
∴y=-$\frac{1}{2}$x+4（0≤x＜8）．

②∵DP∥EF，DE=PF．
（Ⅰ）当四边形DEPF是平行四边形时，

∴DP=EF，
∴x=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴PD的长为$\frac{8}{3}$．

（Ⅱ）当四边形DEPF是等腰梯形时，

∵DE=EF，
∴EP=DF，
∵E、F是BP、CD的中点，
∴BP=DC，过点D作DM⊥BC于M．
∴四边形ABMD是矩形，
∴BM=AD=2，
∴CN=6，
在Rt△DCM中，CD=$\sqrt{D{M}^{2}+C{M}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（x+2）^{2}}$，
∴3$\sqrt{5}$=$\sqrt{{3}^{2}+（x+2）^{2}}$，
解得x=4和-8（舍弃），
经检验x=4是原方程的解且符合题意，
∴PD的长为4，
综上所述，PD的长为$\frac{8}{3}$或4．

点评 本题考查四边形综合题、三角形中位线定理、勾股定理、等腰梯形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题．