Question

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以边AB、AC、BC为边分别向外作等边三角形，其面积分别为S₁，S₂，S₃，若S₁=6，S₂=2，则S₃=8．

Answer 1

分析 先设AC=a，BC=b，AB=c，根据勾股定理有a²+b²=c²，再根据等式性质可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，再根据等边三角形的性质以及特殊三角函数值，易求而S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°a•a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，同理可求S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，从而可得S₁+S₂=S₃，易求S₃．

解答 解：设AC=a，BC=b，AB=c，那么
∵△ABC是直角三角形，
∴a²+b²=c²，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
又∵S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°a•a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
∴S₁+S₂=S₃，
∴S₃=S₂+S₁=8，
故答案为：8．

点评 本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、特殊三角函数值．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．