Question

8．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象与直线y=4x相交于点C，过直线上点A（2，8）作AB垂直于x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD=3BD．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使点P到C、D两点距离之和PC+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A坐标，以及AD=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；
（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于P，则P点即为所求，利用待定系数法求出直线C′D的解析式，进而可得出P点坐标．

解答 解：（1）∵A（2，8），
∴AB=8，OB=2，
∵AD=3BD，
∴BD=2，
∴D（2，2）
将D坐标代入反比例解析式得：k=4；

（2）∵由（1）知，k=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=4x\\ y=\frac{4}{x}\end{array}\right.$，解得x=±1．
∵x＞0，
∴x=1，
∴C（1，4）；

（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于P，则P点即为所求，
∵C（1，4），
∴C′（-1，4）．
设直线C′D的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵D（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}4=-k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{10}{3}\end{array}\right.$，
∴直线C′D的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
∴P（0，$\frac{10}{3}$）．

点评 此题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．