Question

2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0^°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，连接BB₁，设CB₁交AB于D，A₁B₁分别交AB，AC于E，F
（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）当α等于多少度时，△BB₁D是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠A=∠CBA=45°，再根据旋转的性质得CA=CA₁，∠A=∠A₁，∠ACA₁=∠BCB₁，则CB=CA₁，∠CBD=∠A₁，于是可理由“ASA”判断△CBD≌△CA₁F；
（2）由旋转的性质得CB=CB₁，∠BCB₁=α，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠CBB₁=∠CB₁B=90°-$\frac{1}{2}$α，则∠DBB₁=45°-$\frac{1}{2}$α，利用三角形外角性质得∠BDB₁=45°+α，讨论：当BB₁=DB₁时，∠B₁BD=∠B₁DB，即45°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=0°（舍去），当BD=BB₁时，∠BB₁D=∠BDB₁，即90°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=30°．

解答 解：（1）△CBD≌△CA₁F．理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转α角（0^°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，
∴CA=CA₁，∠A=∠A₁，∠ACA₁=∠BCB₁，
∴CB=CA₁，∠CBD=∠A₁，
在△CBD和△CA₁F中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠FC{A}_{1}}\\{CB=C{A}_{1}}\\{∠CBD=∠{A}_{1}}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△CA₁F；
（2）∵△ABC绕点C逆时针旋转α角（0^°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，
∴CB=CB₁，∠BCB₁=α，
∴∠CBB₁=∠CB₁B=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠CBD=45°，
∴∠DBB₁=45°-$\frac{1}{2}$α，∠BDB₁=45°+α，
当BB₁=DB₁时，∠B₁BD=∠B₁DB，即45°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=0°（舍去），
当BD=BB₁时，∠BB₁D=∠BDB₁，即90°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=30°，
综上所述，当α等于30度时，△BB₁D是等腰三角形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定．