Question

已知函数y₁=px+q和y₂=ax²+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y₂与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2

2

．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）设y₂与y轴交点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）将A、B两点代入函数y₁=px+q中，可求函数解析式，将A、B代入y₂=ax²+bx+c中，再利用根与系数关系，列方程组求y₂的函数关系式；
（2）根据A、B、C三点坐标，利用组合图形求三角形的面积．

解答：解：（1）将A、B两点坐标代入函数y₁=px+q中，得

p+q=-1 3p+q=1

，解得

p=1 q=-2

，
∴函数y₁=x-2，
由根与系数关系，得x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
∵|x₁-x₂|=2

2

，∴（x₁-x₂）²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8，b²-4ac=8a²，
将A、B两点坐标代入函数y₂=ax²+bx+c中，得

a+b+c=-1 9a+3b+c=1 b2-4ac=8a2

，解得

a= 1 2 b=-1 c=- 1 2

或

a=- 1 2 b=3 c=- 7 2

，
∴函数y₂=

1

2

x²-x-

1

2

或y₂=-

1

2

x²+3x-

7

2

；
（2）当y₂=

1

2

x²-x-

1

2

时，C（0，-

1

2

），
S_△ABC=

1

2

×（1+3）×2-

1

2

×3×（1+

1

2

）-

1

2

×1×

1

2

=

3

2

；
当y₂=-

1

2

x²+3x-

7

2

时，C（0，-

7

2

），
S_△ABC=

1

2

×（1+

7

2

）×3-

1

2

×（1+3）×2-

1

2

×1×（

7

2

-1）=

3

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据条件列方程组求函数解析式，利用组合图形求三角形的面积．