Question

1．已知正方形ABCD的边长为2cm，以CD为边所作的等腰直角三角形CDE的直角顶点为点E，则cos∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 如图所示，有两种情况：①点E在正方形ABCD的内部，利用正方形的性质得到点E是中心，则∠ABE=45°，易求cos∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②点E在正方形ABCD的外部，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理以及解直角三角形进行解答．

解答 解：分两种情况：
①点E在正方形ABCD的内部，利用正方形的性质得到点E是正方形ABCD的中心，则∠ABE=45°，
所以cos∠ABE=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②点E在正方形ABCD的外部．
如图，过点E′作E′N⊥BC延长线于点N，过点E′作E′M⊥AB于点M．∵△CDE是等腰直角三角形，
∴易求BM=E′N=$\frac{1}{2}$CD=1，E′F=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴在直角△BME′中，由勾股定理得到：BE′=$\sqrt{B{M}^{2}+ME{′}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴cos∠ABE=$\frac{BM}{BE′}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
综上所述，cos∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或cos∠ABE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了解直角三角形，正方形的性质．解题时，要对点E位置进行分类讨论，以防漏解．