Question

已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=8，∠B=60°，连接AC．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）若E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，求线段EF的长．

Answer 1

解：（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB，
∵AB=DC，∠B=60°，
∴∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠ACB=30°，
∴cos∠ACB=；

（2）如图，过A作AM∥CD交CB于M，
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=CD，AD=CM，
而AB=DC，∠B=60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴BM=AB，
∴CB=2AD=16，
∵若E、F分别是AB、DC的中点，
∴EF是梯形的中位线，
∴EF=（AD+BC）=12．
分析：（1）由AD∥BC，AD=DC可以得到∠DAC=∠DCA=∠ACB，而AB=DC，∠B=60°，根据梯形的性质可以得到∠ACB=30°，由此即可求出cos∠ACB的值；
（2）由于E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，那么EF是梯形的中位线，如图，过A作AM∥CD交CB于M，由此得到四边形ADCM是平行四边形，根据已知条件首先得到△ABM是等边三角形后即可求出CB，然后利用中位线的性质即可解决问题．
点评：此题考查了梯形的常用辅助线之一平移梯形的腰，把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形的问题，然后利用它们的性质解决问题．