Question

一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

（1）求证：△AEF∽△ABC；

（2）求这个正方形零件的边长；

（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）：（1）∵四边形EFGH为正形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC；

（2）设边长为xmm，

∵矩形为正方形，

∴EF∥BC，EG∥AD，

（2）设EG=EF=x，则ND=x,AN=80-x,

∵△AEF∽△ABC，

∴，

即，

解得x=48．

答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm．

(3) 设EG=KD=x，则AK=80-x.

∵△AEF∽△ABC，

∴，

即，

∴EF=80-，

∴矩形面积S=x(120-)=-²+120x=-²+2400,

故当x=40时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm²．