Question

如图，过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．
（1）求证：E为

BC

的中点；
（2）若CF=3，DE•EF=

15

4

，求EF的长．

Answer 1

分析：要证E为

BC

中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．

解答：（1）证明：连接OE
OA=OE=＞∠OAE=∠OEA
OE切圆O于E=＞OE⊥DE
AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°
=＞∠EAD=∠OEA
=＞E为

BC

的中点．

（2）解：连CE，则∠AEC=90°，设圆O的半径为x
∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞
DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA
∴

DE

AD

=

CE

AE

，

CE

AE

=

CF

EF

∴

DE

AD

=

CF

EF

即DE•EF=AD•CF
DE•EF=

15

4

，CF=3
∴AD=

5

4

OE∥AD=＞

OE

AD

=

OF

AF

=＞

x

5 4

=

x+3

2x+3

=＞8x²+7x-15=0
∴x₁=1，x₂=-

15

8

（舍去）
∴EF²=FC•FA=3x（3+2）=15
∴EF=

15

点评：此题主要考查了圆中三角形的相似，以及证明弧相等的方法，综合性较强，通过认真的思考，一定能提升同学们的综合能力．