Question

如下图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线。
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO；
（2）如果将折一次改为折二次，如下图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论；
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论。

Answer 1

解：（1）过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥CD，
∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，
∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，
即∠EOF=∠BEO+∠DFO；
（2）∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足的关系式是：∠BEO+∠P=∠O+∠PFC，
过O作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，
∴∠EOP－∠OPF=（∠EOM+∠MOP）－（∠OPN+∠NPF）=∠EOM－∠NPF，
∠BEO－∠PFC=∠EOM－∠NPF，
∴∠BEO－∠PFC=∠EOP－∠OPF，
∴∠BEO+OPF=∠EOP+∠PFC；
（3）令折点是1，2，3，4，…，n，
则：∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…。