Question

如图，直线y=

1

2

x+m与抛物线y=

1

2

x²-2x+1交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）．

（1）设抛物线的顶点为B，对称轴l与直线y=

1

2

x+m的交点为C，连结BM、BN，若S_△MBC=

2

3

S_△NBC，求直线MN的解析式；
（2）在（1）条件下，已知点P（t，0）为x轴上的一个动点，
①若△PMN为直角三角形，求点P的坐标．
②若∠MPN＞90°，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E，根据已知条件可求出m的值，进而得到直线解析式；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=

1

2

x+1与x轴的交点为F，因为直角三角形的斜边不确定，所以要分三种情况分别讨论，求出符合题意的t值，即可求出P的坐标；②由①可知当若∠MPN=90°，P的坐标，进而可求出∠MPN＞90°，则t的取值范围．

解答：解：（1）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y= 1 2 x+m y= 1 2 x2-2x+1

，可得x²-5x+2-2m=0，
则x₁+x₂=5①，x₁•x₂=2-2m②．
过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E．
∵S_△MBC=

2

3

S_△NBC，
∴MD=

2

3

NE，即2-x₁=

2

3

（x₂-2），
∴x₁=-

2

3

x₂+

10

3

 ③，
③代入①，得x₂=5，x₁=0，
代入②，得m=1，
∴直线MN的解析式为y=

1

2

x+1；

（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=

1

2

x+1与x轴的交点为F（-2，0）．
若∠NMP₁=90°，则△MOP₁∽△FOM，
∴

OP1

OM

=

OM

OF

，
即

t

1

=

1

2

，
∴t

1

2

，
∴P₁的坐标为（

1

2

，0）；
若∠NMP₂=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP₂∽△FOM，
∴

HP2

HN

=

OM

OF

，
∴

t-5

7

=

1

2

，
∴t=

27

4

，
∴P₂的坐标为（

27

4

，0）；
若∠MP₃N=90°，则△MOP₃∽△FOM，
∴

MO

OP3

=

P3H

HN

，
∴

1

t

=

5-t

7

，
∴2t²-10t+7=0，
解得：t=

5± 11

2

，
∴P₃的坐标为（

5± 11

2

，0）；
②由①可知P₃的坐标为（

5± 11

2

，0），
∵∠MPN＞90°，
∴

5- 11

2

＜t

5+ 11

2

，
故答案为：

5- 11

2

＜t

5+ 11

2

．

点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质、一元二次方程解的情况、三角形的面积公式等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法，题目的难度较大．