Question

如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．

Answer 1

解：如图，作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M，
过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，
由对称性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G，
当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10，
∵点B与点B′关于AC对称，
∴BE⊥AC，
∴S_△ABC=AC•BE=AB•BC，得BE=4，BB′=2BE=8，
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°，则∠B′BG=∠ACB，又∠B′GB=∠ABC=90°，
得△B′GB∽△ABC，=，
B′G==16，故BM+MN的最小值是16cm．
故答案为：16cm．
分析：作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M，过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，再由对称性可知
B′M+MN=BM+MN≥B′G，再由等号成立条件得出AC=10，再根据△ABC的面积分别求出BE、BB′的值，由相似三角形的判定定理得出△B′GB∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
点评：本题考查的是最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．