Question

22、已知一元二次方程x²-kx+2（k-3）=0，是否存在实数k，使方程的两个实数根的平方和为9，如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：根据题意，可知（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，根据根与系数的关系，即可求出关于k的一元二次方程，通过解方程即可求得k的值；根据根的判别式即可判别方程是否有两个不相等的实数根．

解答：设方程的两个实数根为x₁、x₂，那么x₁²+x₂²=9
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9（2分）
由题意得：x₁+x₂=k，x=2k-6（2分）
∴k²-4k+12=9，k²-4k+3=0（1分）
解得：k₁=1；k₂=3（1分）
由题意得：△=b²-4ac=k²-4×2（k-3）=k²-8k+24=（k-4）²+8（2分）
∵（k-4）²≥0，∴（k-4）²+8＞0，即△＞0（2分）
∴不论k取任何实数，方程有两个不同的实数根；（1分）
∴当k₁=1或是k₂=3时，方程的两个实数根的平方和为9．（1分）

点评：本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，关键在于求出关于k的一元二次方程，求解．