Question

已知关于x的方程x²+2（k-3）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂-9|=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

解：（1）根据题意，得△≥0，
即[2（k-3）]²-4k²≥0，
解得，k≤；

（2）根据韦达定理，得
x₁+x₂=-2（k-3），x₁x₂=k²，
∴由|x₁+x₂-9|=x₁x₂，得
|-2（k-3）-9|=k²，即|2k+3|=k²，
以下分两种情况讨论：
①当2k+3≥0，即k≥-时，2k+3=k²，
即k²-2k-3=0，
解得，k₁=-1，k₂=3；
又由（1）知，k≤，
∴-≤k≤，
∴k₂=3不合题意，舍去，
即k₁=-1；
②当2k+3＜0，即k＜-时，-2k-3=k²，
即k²+2k+3=0，此方程无实数解．
综合①②可知，k=-1．
分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac＞0来求k的取值范围；
（2）利用韦达定理求的关于k的一元二次方程|2k+3|=k²；然后根据（1）的k的取值范围，需要对其分类讨论：①当2k+3≥0，即k≥-时，2k+3=k²，通过解方程求的k的值即可；②当2k+3＜0，即k＜-时，-2k-3=k²，通过解方程求的k的值即可．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．