Question

如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究在抛物线上是否存在一点P，使以D、E、A、P为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c
将A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入上式，得
，
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点B（1，4）；

（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，
∵OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE===3．
在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线；

（3）存在．
当EP∥AD时，
∵E（0，3），
∴直线EP的解析式为y=3，
∴，解得；
当AE∥DP时，
设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（3，0），E（0，3），
∴，解得，
∴直线AE的解析式为y=-x+3，
设直线DP的解析式为y=-x+b，
∵D（-1，0），
∴1+b=0，解得b=-1，
∴直线DP的解析式为y=-x-1，
∴，解得或（舍去），
∴P（4，-5）；
当DE∥AP时，
设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵D（-1，0），E（0，3），
∴，解得，
∴直线DE的解析式为y=3x+3，
设直线AP的解析式为y=3x+b，
∵A（3，0），
∴9+b=0，解得b=-9，
∴直线AP的解析式为y=3x-9，
∴，解得或（舍去）．
综上所述，点P的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-5）．
分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c将A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入即可得出a，b，c的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，因为OA=OE=3，所以∠1=∠2=45°，再根据勾股定理即可求出AE的长，同理可得出BE的长，
（3）由于梯形的两底边不能确定，故应分EP∥AD，AE∥DP，DE∥AP三种情况进行分类讨论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，两直线平行的相关知识，难度适中．