【题目】如图,等腰△ABC中,CA=CB=4,∠ACB=120°,点D在线段AB上运动(不与A、B重合),将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,给出下列结论:
①CD=CP=CQ;
②∠PCQ的大小不变;
③△PCQ面积的最小值为;
④当点D在AB的中点时,△PDQ是等边三角形,其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④.
【解析】
试题分析:①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,∴CP=CD=CQ,∴①正确;
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,∴∠ACP=∠ACD,∠BCQ=∠BCD,∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°,∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°,∴∠PCQ的大小不变;∴②正确;
③如图,过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E,∵∠PCQ=120°,∴∠QCE=60°,在Rt△QCE中,tan∠QCE=,∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ,∵CP=CD=CQ,∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=,∴CD最短时,S△PCQ最小,即:CD⊥AB时,CD最短,过点C作CF⊥AB,此时CF就是最短的CD,∵AC=BC=4,∠ACB=120°,∴∠ABC=30°,∴CF=BC=2,即:CD最短为2,∴S△PCQ最小===,∴③错误;
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ,∴AD=AP,∠DAC=∠PAC,∵∠DAC=30°,∴∠APD=60°,∴△APD是等边三角形,∴PD=AD,∠ADP=60°,同理:△BDQ是等边三角形,∴DQ=BD,∠BDQ=60°,∴∠PDQ=60°,∵当点D在AB的中点,∴AD=BD,∴PD=DQ,∴△DPQ是等边三角形,∴④正确,故答案为:①②④.
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com