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【题目】如图,等腰ABC中,CA=CB=4,ACB=120°,点D在线段AB上运动(不与A、B重合),将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ,给出下列结论:

①CD=CP=CQ;

PCQ的大小不变;

PCQ面积的最小值为

④当点D在AB的中点时,PDQ是等边三角形,其中所有正确结论的序号是

【答案】①②④.

【解析】

试题分析:①CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ,CP=CD=CQ,①正确;

CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ,∴∠ACP=ACD,BCQ=BCD,∴∠ACP+BCQ=ACD+BCD=ACB=120°,∴∠PCQ=360°﹣(ACP+BCQ+ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°,∴∠PCQ的大小不变;②正确;

③如图,过点Q作QEPC交PC延长线于E,∵∠PCQ=120°,∴∠QCE=60°,在RtQCE中,tanQCE=QE=CQ×tanQCE=CQ×tan60°=CQ,CP=CD=CQS△PCQ=CP×QE=CP×CQ=CD最短时,S△PCQ最小,即:CDAB时,CD最短,过点C作CFAB,此时CF就是最短的CD,AC=BC=4,ACB=120°,∴∠ABC=30°,CF=BC=2,即:CD最短为2,S△PCQ最小===③错误

CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ,AD=AP,DAC=PAC,∵∠DAC=30°,∴∠APD=60°,∴△APD是等边三角形,PD=AD,ADP=60°,同理:BDQ是等边三角形,DQ=BD,BDQ=60°,∴∠PDQ=60°,当点D在AB的中点,AD=BD,PD=DQ,∴△DPQ是等边三角形,④正确,故答案为:①②④.

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