Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，求AP²+PB•BC的值．

Answer 1

分析 首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP=∠ADB=90°，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得BD=CD，由勾股定理可得PA²=PD²+AD²，AD²+BD²=AB²，然后由AP²+PB•PC=AP²+（BD+PD）（CD-PD），即可求得答案．

解答 解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，
∴BD=CD，PA²=PD²+AD²，AD²+BD²=AB²，
∴AP²+PB•PC=AP²+（BD+PD）（CD-PD）=AP²+（BD+PD）（BD-PD）=AP²+BD²-PD²=AP²-PD²+BD²=AD²+BD²=AB²=25．
即AP²+PB•BC=25．

点评 本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质的正确及灵活运用．注意得到AP²+PB•PC=AP²+（BD+PD）（CD-PD）是解此题的关键．