Question

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax²（a<0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

Answer 1

解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ∵OA=OB=，∠AOB=90°，AC=OC=BC=2， ∴B（2，-2）， 将B（2，-2）代入抛物线得，；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E， ∵点B的横坐标为1， ∴B （1，）， ∴BF=， 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF， 又，∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴， AE=2OE， 设点A（，）（m>0）， 则，， ∴， ∴m=4， 即点A的横坐标为-4；
（3）设A（-m，）（m>0），B（n，）（n>0）， 设直线AB的解析式为：， 则， 得，， ∴， 又易知△AEO∽△OFB， ∴， ∴，， ∴， 由此可知k不论为何值，线段AB恒过点（0，-2）。