Question

【题目】已知，点M是二次函数（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．

（1）求a的值；

（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；

（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）M1（，），Q1（，）或M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题．

（2）设M（t，），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题．

（3）设M（n，）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题．

试题解析：（1）∵圆心O的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），∵QO=QF，∴，∴a=1，∴抛物线为．

（2）∵M在抛物线上，设M（t，），Q（m，），∵O、Q、M在同一直线上，∴KOM=KOQ，∴，∴，∵QO=QM，∴，整理得到：，∴，∴，∴，，当时，，当时，，∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．

（3）设M（n，）（n＞0），∴N（n，0），F（0，），∴MF===，MN+OF=，∴MF=MN+OF．