Question

3．如图△ABC中，tan∠C=$\frac{1}{2}$，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建三角形高线，根据已知的三角函数值tan∠C=$\frac{1}{2}$设未知数：设BF=x，则FC=2x，EF=5-2x，由平行线分线段成比例定理列比例式，表示出AE的长，根据已知的面积关系：△BEC的面积是△ADE面积的10倍，列方程解出即可．

解答 解：过B作BF⊥AC于F，
tan∠C=$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
设BF=x，则FC=2x，EF=5-2x，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴$\frac{DE}{BF}=\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{1}{x}=\frac{AE}{AE+5-2x}$，
∴AE=$\frac{5-2x}{x-1}$，
∵△BEC的面积是△ADE面积的10倍，
∴$\frac{1}{2}$×EC×BF=10×$\frac{1}{2}$×AE×DE，
5x=10×$\frac{5-2x}{x-1}$×1，
x²+3x-10=0，
（x+5）（x-2）=0，
x₁=-5（舍），x₂=2，
经检验x=2是原方程的解，
∴BF=2，EF=5-2x=1，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角函数、平行线分线段成比例定理的性质，利用三角函数值的倍数关系设未知数，与比例式或勾股定理相结合，列方程或方程组可以求线段的长，也可以从已知条件中找出等量关系列方程求解．