Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点E，连结EB、ED，∠CBD=∠E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E=30°，BC=

4 3

3

，求阴影部分的面积．（计算结果精确到0.1）（参考数值：π≈3.14，

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠E，则∠A+∠ABD=90°，而∠CBD=∠E，则∠CBD=∠A，所以∠CBD+∠ABD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由∠A=∠E=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=

3

BC=4，则OA=2，OH=

1

2

OA=2，AH=

3

OH=2

3

，根据垂径定理由OH⊥AD，得AH=HD=2

3

，即AD=4

3

，
然后利用阴影部分的面积=S_扇形AOD-S_△AOD和扇形的面积公式进行计算即可．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠CBD=∠E，∠A=∠E，
∴∠CBD=∠A，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连结OD，作OH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABC中，∠A=∠E=30°，
∴AB=

3

BC=

3

×

4 3

3

=4，
∴OA=2，
在Rt△AOH中，∠A=30°，
∴∠AOH=60°，
∴OH=

1

2

OA=2，AH=

3

OH=2

3

，
∵OH⊥AD，
∴AH=HD=2

3

，即AD=4

3

，
∴∠AOH=∠DOH=60°，
∴∠AOH=120°，
∴阴影部分的面积=S_扇形AOD-S_△AOD
=

120π•22

360

-

1

2

×4

3

×1
=

4π

3

-2

3

≈0.7．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和扇形的面积公式．